Matheus de Sá

Sexta-feira 13 e a Matemática

Provaremos que todo ano tem pelo menos uma sexta-feira 13.

Esse texto foi inspirado em um palestra que assisti ano passado na UnB do professor Rogério César dos Santos, não me lembro exatamente como ele fez os cálculos, então vou fazer do meu jeito, mas as ideias creio que sejam parecidas.

Para provarmos que todo ano tem pelo menos uma sexta-feira 13 vamos quebrar esse problemas em partes, primeiro descobriremos quando um mês tem sexta-feira 13, e depois verificar se todo ano tem esse “tipo” de mês, existem 7 tipos de meses a depender de em qual dia da semana ele começa. O passo-a-passo para encontrar o mês que queremos é fácil.
-Contar quantos dias têm do primeiro dia do mês até a primeira sexta-feira
-Somar 7 ao resultado
-Se esse novo resultado der 13 significa que a segunda semana desse mês tem uma sexta-feira 13
Se o mês começar no domingo, temos que de domingo a sexta são 6 dias, então
6 + 7 = 13 . Logo quando o mês começa no domingo a segunda sexta-feira do mês é 13. Além disso é uma condição necessária e suficiente, se o mês começar em um dia de segunda-feira à sábado o mês não admite uma sexta-feira 13 (você pode verificar isso com o passo-a-passo que mostrei antes).
Classificamos os meses como 7 tipos diferentes, com ano é a mesma ideia, mas como existem os anos bissextos daí existem 14 tipos de ano.
Se você observar seu calendário vai notar que o primeiro dia da semana de um mês, depende do mês anterior, se obsevrar mais um pouco vai notar que se o mês anterior que tem 31 dias então o mês posterior vai começar 3 dias na semana depois que o anterior. Exemplo um mês que começa na segunda-feira com 31 dias, o próximo mês vai começar na quinta-feira, são 3 dias depois que a segunda-feira, sem contar com ela própria.
Generalizando para os outros meses temos que:

Mês anterior com 28 dias, mês posterior começa no mesmo dia da semana
Mês anterior com 29 dias, mês posterior começa 1 dia depois
Mês anterior com 30 dias, mês posterior começa 2 dias depois
Mês anterior com 31 dias, mês posterior começa 3 dias depois

Vamos anotar a quantidade de dias que tem cada mês pois usaremos essa informação mais tarde.

Janeiro 31
Fevereiro 28 ou 29
Março 31
Abril 30
Maio 31
Junho 30
Julho 31
Agosto 31
Setembro 30
Outubro 31
Novembro 30
Dezembro 31

Verificaremos se todo ano tem um mês que comece no domingo analisando caso a caso, para isso vamos construir uma tabela com os meses do ano e o primeiro dia da semana de cada mês.

Denotaremos mês x = dia da semana que começa o mês

Primeiro verificar para um ano que comece no domingo (regular ou bissexto)

Caso 1) Regular

mês 1 = domingo ✓
mês 2 = quarta
mês 3 = quarta
mês 4 = sábado
mês 5 = segunda
mês 6 = quinta
mês 7 = sábado
mês 8 = terça
mês 9 = sexta
mês 10 = domingo ✓
mês 11 = quarta
mês 12 = sexta

Caso 2) Bissexto

mês 1 = domingo ✓
mês 2 = quarta
mês 3 = quinta
mês 4 = domingo ✓
mês 5 = terça
mês 6 = sexta
mês 7 = domingo ✓
mês 8 = quarta
mês 9 = sábado
mês 10 = segunda
mês 11 = quinta
mês 12 = sábado

Para um ano que começa no domingo é um caso trivial, afinal precisamos de ao menos um mês que comece no domingo, contudo construir essa tabela vai nos ajudar a determinar para os anos que começam nos demais dias da semana. Um ano que começa na segunda-feira vai ter um calendário muito parecido com essa caso anterior, basta nos movermos uma casa para direita, então vamos substituir onde é domingo por segunda, onde é segunda por terça e assim sucessivamente. Usaremos esse mesmo método para os outros dias mas ao invés mover só uma casa, para os demais moveremos a quantidade a depender da ‘distância’ de domingo até o dia em questão (segunda- 1 ; terça – 2; quarta – 3; quinta – 4; sexta – 5;e sábado – 6).

Dia da semana que começa o ano	meses que começam no domingo
Domingo (regular)	1 e 10
Domingo (bissexto)	1, 4 e 7
Segunda-feira (regular)	4 e 7
Segunda-feira (bissexto)	9 e 12
Terça-feira (regular)	9 e 12
Terça-feira (bissexto)	6
Quarta-feira (regular)	6
Quarta-feira (bissexto)	3 e 11
Quinta-feira (regular)	2, 3 e 11
Quinta-feira (bissexto)	2 e 8
Sexta-feira (regular)	8
Sexta-feira (bissexto)	5
Sábado (regular)	5
Sábado (bissexto)	10

Essa ano de 2020 começou em uma quarta feira, ano bissexto, então teve 2 dois meses que começaram no domingo, logo esses dois meses têm uma sexta-feira 13 pela tabela março e novembro.

Fiquem à vontade para verificar se a tabela está certa comparando com o calendário do ano que vem, do ano passado, do ano do seu aniversário… qualquer dúvida podem me escrever.

Paradoxo do Aniversário

Como calcular a chance de numa sala com 50 pessoas, pelo menos 2 delas fazerem aniversário no mesmo dia.

A motivação do texto é responder a pergunta: em uma sala com 50 pessoas qual a probabilidade de pelo menos 2 pessoas fazerem aniversário no mesmo dia ? Somos acostumados a resolver problemas da matemática de forma linear, a famosa regra de 3, contudo esse problema não se resolve de forma linear. Vamos primeiro resolver ele usando regra de 3 e depois da forma correta.

Os vestibulandos sabem que para aplicar regra de 3 é preciso de no mínimo 3 informações, nesse caso ainda só temos uma, precisamos saber quantas pessoas é preciso para essa probabilidade chegar a 100%. Na Teoria Combinatória dos Números existe o Princípio da Casa dos Pombos e ao invés de simplesmente enunciá-lo aqui, vou construir a ideia:

Digamos que você tenha 6 pombos e 5 casas para colocar eles, então você colocando de forma aleatória ou não, com certeza no mínimo 2 pombos estarão na mesma casa. Usando essa ideia para o dia do aniversário temos que o máximo de dias que um ano tem é 366, se eu quero ter certeza que pelo menos 2 pessoas façam aniversário no mesmo dia eu preciso de 367 pessoas.

Ótimo, conseguimos as 3 informações. Aplicando na regra de 3 temos:

367 — 100%
50 — x

367x = 5000%
x = 5000%/367
x = 13.62%

De acordo com esses cálculos a chance de pelo menos 2 pessoas fazerem aniversário no mesmo dia em uma sala com 50 pessoas é de 13.62%, mas esse raciocínio está errado, essa probabilidade não aparece na realidade. Então como podemos fazer de forma correta?

Na graduação temos uma piada que qualquer evento tem 50% de chance de acontecer, pois ou ele acontece ou não acontece, claro que na realidade não é assim mas podemos usar essa ideia. Se somarmos a chance de algum evento acontecer com a chance dele não acontecer vamos obter 100% (isso de forma didática, na matemática existem nomes técnicos para essa situação), considere as seguintes definições para facilitar nossa comunicação:

A = chance de pelo menos 2 das 50 pessoas fazem aniversário no mesmo dia;
B = chance de cada uma das 50 pessoas fazerem aniversário em dias distintos.
Logo, A+B = 1 (não coloquei 100% para facilitar os próximos cálculos mas é a mesma coisa)

Quero descobrir o valor de A, vamos isolá-lo

A = 1 – B

Para resolver basta achar o valor de B, ou seja nosso desafio agora é calcular a probabilidade de 50 pessoas fazerem aniversário em dias diferentes. Vamos usar a fórmula do arranjo simples, ela retorna a quantidade de combinações possíveis, para virar porcentagens basta dividir por 365^50 (365 é o espaço amostral para uma pessoa, como são 50 devemos colocar esse número como potência)

Você poderia considerar o ano bissexto mas um dia não faz diferença no resultado final.

Uma calculadora simples não consegue fazer esses cálculos, então usando o WolfranAlpha (É um software inteligente que roda direto do navegador, linguagens de programação como o python e R provavelmente conseguiriam fazer esses cálculos também) e ele retorna uma aproximação excelente de 0,03 e substituindo esse valor de B na outra expressão temos

A = 1- 0,03
A = 0,97
Ou em porcentagens A = 97%

Portanto, a chance de pelo menos 2 pessoas fazerem aniversário no mesmo dia em uma sala com 50 pessoas é 97%. Além disso conseguimos criar uma função p(n) que retorna a porcentagem a depender do número n de pessoas.

Chequem as referências vou comentar cada uma.

** LIvro
Introdução à Teoria dos Números – José Plinio – O capítulo 3 fala sobre a Teoria Combinatória dos Números muito interessante lá onde eu conheci o princípio da casa dos pombos.

**Links
WolframAlpha Resolve vários problemas incluindo derivadas e integrais.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxo_do_anivers%C3%A1rio – Wikipedia não é uma referência boa para citar em um artigo científico, contudo é um ótimo lugar para se introduzir em um assunto.

√9 não é ± 3

Quando devemos escrever ± e quando não devemos. É um texto bem prático com vários exemplos.

Dizer que √9 é igual a mais ou menos 3 está tão certo quanto 2+2 é igual a 4 ou 5. Embora seja lógico, escrever dessa forma não é exato, escrevemos 2+2 = 4 assim como devemos escrever √9 = 3.

Vamos ver isso de forma bem prática com exemplos e sem entrar em teoria dos números. Caso não esteja acreditando pode fazer alguns testes. O primeiro teste: abra sua calculadora do celular, coloque no modo científico e digite √9 certamente retornará 3 como resultado sem ±. Se ainda não se convenceu você pode fazer um segundo teste, abra uma calculadora gráfica como o GeoGebra ou algum outro software por exemplo o Wolfram Alpha, neles pode se observar o mesmo resultado √9 = 3.

Não só o 9, mas como qualquer número real positivo quando tomamos a raiz quadrada o resultado é positivo. Podemos fazer um gráfico com esses valores, y = √x.

A função só admite, além do 0, valores positivos tanto de entrada quanto de saída. Perceba aqui não tentamos definir o que é a raiz quadrada e sim mostrei exemplos de como ela funciona na prática.

Na matemática podemos ter duas interpretações para esse sinal ± , pode significar tanto “mais ou menos” quanto “mais e menos”. No primeiro caso apenas um é verdadeiro (ou mais ou menos está certo) e no segundo caso os dois são verdadeiros (mais e menos estão certos). Independente da interpretação olhemos um exemplo para ver porque o sinal ± aparece, vamos usar o famoso teorema de Pitágoras, dados um trio pitagórico a,b e c onde a e b são catetos e c é a hipotenusa, para isolar o c seguem os passos:

O ± apareceu por causa do módulo(| |) que por sua vez veio do fato de que √(x²) = |x|, elevamos x ao quadrado e depois tomamos a raiz. Para finalizar veja alguns gráficos de umas funções.

Com o módulo a função admite valores negativos (apenas na entrada)

Contudo, se tirar a raiz primeiro e depois elevar ao quadrado não se tem o módulo e os valores negativos não aparecem

Podem comentar aqui em baixo se alguma coisa não ficou clara. Até a próxima.

A Probabilidade e O Campo Minado

Como usar a probabilidade para jogar campo minado e como isso foi cobrado em uma questão do enem de 2017

Em 2017 foi o ano em que conclui o ensino médio, nesse mesmo ano prestei o ENEM e em uma questão foi abordado justamente a probabilidade no jogo Campo Minado, vamos ver essa questão ao final.

A princípio, vamos ver um pouco sobre probabilidade que resumidamente pode ser interpretado como a chance de algum evento acontecer.

Um evento pode ou não acontecer, se não existe a possibilidade de acontecer ele tem 0% de chance, caso seja certo que o evento ocorra ele tem 100%. Entre 0 e 100% de acordo com sua probabilidade podemos dizer que um evento é mais ou menos provável de acontecer.

Uma probabilidade pode ser encarada como uma razão (aqui razão significa divisão entre dois números que pode ser representada por uma fração) , então 0% é 0 dividido por 100 que se iguala ao próprio zero, enquanto que 100% é 100 dividido por 100 que é igual a 1. Por tanto um evento tem entre 0 e 1 chances de acontecer.

Para calcularmos uma probabilidade basta dividirmos os casos favoráveis pelos casos possíveis, talvez o exemplo mais utilizado atualmente seja o lançamento de um dado com 6 faces enumeradas de 1 a 6 e aqui vão os exemplos:

Chances de tirar 3 no lançamento de um dado
Caso favorável {3}
Casos possíveis {1,2,3,4,5,6}
1 / 6 = 0,166… para colocar em porcentagem basta multiplicar por 100 daí 16,66%, para um matemático a fração 1/6 é suficiente para representar essa probabilidade.

Outro exemplo
Chance de tirar um número par no lançamento de um dado
Casos favoráveis {2,4,6}
Casos possíveis {1,2,3,4,5,6}
3/6 = 1/2 = 0,50 = 50%

Com isso vamos olhar o seguinte campo minado, criei nele coordenadas que vão ajudar nos próximos parágrafos. Abaixo segue um campo minada 8×8 isso equivale a 64 quadrados, o objetivo do jogo é descobrir todos os quadrados sem minas que nesse nível tem 10.

O jogador clicará no quadrado 4D na esperança de não ter uma mina.

A primeira pergunta, qual a chance de ter uma mina justo no primeiro quadrado que o jogador clicar ? Simples, 10/64 = 0,15625 = 15,62%, menos que a chance de tirar 3 no dado. Por sorte o jogador clicou em uma região sem minas e foram revelados 31 quadrados sem minas, faltam 33 para ganhar o jogo, vamos recalcular as chances 10/33 = 0,3030 = 30,30%. Com apenas uma jogada a chance de clicar em uma mina e perder o jogo dobrou, se o jogador continuar contando com a sorte e o acaso facilmente perderá o jogo.

A bandeira no 2E foi colocada pelo jogador indica que tem uma mina.

Agora como o jogador pode usar a probabilidade como forma de estratégia para ganhar, para isso deve se conhecer mais as regras. Os números presentes em alguns quadrados nos informas quantas minas existem 8 quadrados vizinhos, daí o jogador deduz quais quadrados têm ou não mina, logo se marca os quadrados com uma bandeira onde tem 100% de chance de ter uma mina e se clica somente nos quadrados onde se tem 0% de chance de ter uma mina.

Fim de jogo, contudo esse é o nível fácil.

Você pode jogar campo minado direto do seu celular no navegador, basta pesquisar no google campo minado que o próprio google tem esse jogo, não é necessário instalar. É um ótimo jogo que estimula o raciocínio lógico.

Questão do ENEM

A figura ilustra uma partida de Campo Minado, o jogo presente em praticamente todo computador pessoal. Quatro quadrados em um tabuleiro 16 x 16 foram abertos, e os números em suas faces indicam quantos dos seus 8 vizinhos contêm minas (a serem evitadas). O número 40 no canto inferior direito é o número total de minas no tabuleiro, cujas posições foram escolhidas ao acaso, de forma uniforme, antes de se abrir qualquer quadrado.

Em sua próxima jogada, o jogador deve escolher dentre os quadrados marcados com as letras P, Q, R, S e T um para abrir, sendo que deve escolher aquele com a menor probabilidade de conter uma mina.

O jogador deverá abrir o quadrado marcado com a letra:

a) P
b) Q
c) R
d) S
e) T

Vou comentar no final da página a resposta correta.

Bases Numéricas Parte 2

Nesse post vamos continuar vendo curiosidades sobre bases numéricas e além disso vamos aprender como converter da base decimal para a base binária.

No post passado deixei um desafio que era completar a seguinte tabela:

Base	Núm. 1	vezes	Núm. 2	Resultado
Base 10	3	x	6	18
Base 2	11	x	110	????

É desejável que tenha lido a Parte 1 tem um tempo de leitura estimado de 2 minutos.

Há pelo menos 3 formas de resolver esse desafio. A 1ª é contando, a 2ª é transformando e a 3ª é multiplicando. Vamos fazer todas.

Na 1ª vamos contar de 6 até 18 em binário, sabemos que 6 decimal corresponde a 110 binário, basta somar de um em um até chegar em 18.

6 – 110
7 – 111
8 – 1000
9 – 1001

10 – 1010
11 – 1011
12 – 1100
13 – 1101

14 – 1110
15 – 1111
16 – 10000
17 – 10001

18 – 10010

É um método muito trabalhoso, se assimila a contar nos dedos, vamos usar o 2º agora, um pouco mais sofisticado. Vamos simplesmente calcular quanto é 18 em binário.

Como a base é binária devemos dividir 18 por 2, vamos guardar o resto e o resultado vamos dividir por 2 novamente, seguimos esses passos até que o resultado fique menor que 2.

i) 18 / 2 = 9 resto 0 => 18 em binário = ????0
ii) 9 / 2 = 4 resto 1 => 18 em binário = ???10
iii) 4 / 2 = 2 resto 0 => 18 em binário = ??010
iv) 2 / 2 = 1 resto 0 => 18 em binário = ?0010
v) 1 / 2 = 0 resto 1 => 18 em binário = 10010

Esse é método foi mais rápido e sofisticado. O 3º é simples e rápido, vamos multiplicar 11 e 110 na base binária, para isso vamos olhar a tabuada binária:

0+0 = 0 ~ 0x0 = 0
1+0 = 1 ~ 1×0 = 0
1+1 = 10 ~ 1×1 = 1

Vamos fazer a multiplicação de usando como referência a tabuada acima

Por fim, vamos verificar como sair da base binária e voltar para base decimal. Antes disso vejamos uma manipulação de um número qualquer, podemos escrever o número 5734 como:

Vamos usar essa ideia para calcular quanto 10010 binário corresponde em decimal, contudo ao invés de multiplicarmos por “10” vamos multiplicar por “2”

Fica as perguntas é possível realizar todas as operações que realizamos na base decimal em base binária ? Ou ainda em qualquer base ? Imagine se os seres humanos tivessem 4 dedos ao invés de 5 em cada mão, será se nesse cenário os humanos usariam a base octal?

Bases Numéricas Parte 1

Hoje vamos ver como 1+1 = 10 e entender um pouco sobre bases numéricas

Hoje temos muito o que abordar, primeiramente quero saber quantos signos do zodíaco existem, são eles: 1 – Aquário; 2 – Peixes; 3 – Áries; 4 – Touro; 5 – Gêmeos; 6 – Câncer; 7 – Leão; 8 – Virgem; 9 – Libra; 10 – Escorpião (o melhor); 11 – Sagitário; e 12 – Capricórnio. Acabamos de fazer uma contagem e descobrimos que são 12 signos, além disso vocês repararam que a partir do 10 os algarismos(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 – indo-arábicos) começaram a se repetir, isso ocorre porque utilizamos a base decimal para fazer contas. É bem confortável usar a base decimal afinal temos 10 dedos e estamos acostumados, mas existem outras infinitas bases e no nosso dia a dia utilizamos:

Base 10 para quase tudo;

Base 2 nos computadores;

Base 60 para minutos e segundos;

Base 7 para dias da semana;

Base 365 para anos;

….

Contudo todas essas bases escrevemos com os algarismos indo-arábicos. Um exemplo de como contaríamos os signos na base 2 ou binária:

Os símbolos dessa base são o 0 e o 1

1 – Aquário
10- Peixes
11- Áries
100- Touro
101- Gêmeos
110- Câncer
111- Leão
1000- Virgem
1001- Libra
1010- Escorpião
1011- Sagitário
1100- Capricórnio

Então na base binária existem 1100 signos que correspondem aos mesmos 12 na base decimal. Na base binário 1+1 = 10, podemos somar, subtrair, dividir e multiplicar números em outras bases sem problemas, exemplo e desafio:

Base	Núm. 1	vezes	Núm. 2	Resultado
Base 10	2	x	3	6
Base 2	10	x	11	110

Os números são correspondentes de acordo com sua base, é fácil de verificar pela lista(dos signos) de que o sexto de fato é o 110, assim como o segundo é o 10 e o terceiro é o 11. A próxima fica como desafio, quanto é 18 decimal em binário ?

Base	Núm. 1	vezes	Núm. 2	Resultado
Base 10	3	x	6	18
Base 2	11	x	110	????

Na história tivemos várias outras formas de representar os números talvez o exemplo mais conhecido talvez seja os números romanos (porém é um sistema aditivo e não posicional). Voltemos mais na história muitos anos antes de Cristo os povos babilônicos utilizavam a base 60 ou sexagesimal. Eles tinham 59 símbolos diferente para representar os números, só a partir do 60 eles começam a repetir os símbolos, e eles não tinham um símbolo para o 0.

Na base decimal começamos a repetir os símbolos no 10, na base sexagesimal começa no 60, contudo como eles não tem um símbolo para o 0, ou seja o símbolo do do 1 e do 60 são os mesmos, é um sistema ambíguo. Imagine se não tivéssemos o 0, os símbolos do 1 e do 10 seria os mesmo também.

No próximo post abordaremos melhor a matemática envolta das bases numéricas.

Por que (-1)(-1) = 1?

Menos com menos é mais ? De onde veio isso ? Vamos conferir

Caro leitor, primeiramente devo avisar que caso esteja com pressa pode pular para os finalmente, caso contrário vamos do início.
Na educação básica, a matemática nos é ensinada como uma ferramenta que “funciona” para vários fins, mas muitas vezes não aprendemos o porquê de funcionar.
Algumas áreas da Matemática contemplam justo essa parte de porque que algo funciona. Então vamos primeiro entender alguns elementos básicos desse jogo que é a
Matemática, no caso, as regras (pesquise por axiomas matemáticos no Google se quiser saber mais). As peças são os números, não poderia ser diferente, visto que vamos trabalhar com eles. Cada tipo de número tem suas características assim como as peças de xadrez, chamamos essas características de propriedades e vamos esclarecer algumas básicas para resolver o enunciado no título. Duas propriedades do 0 que usaremos:
1° qualquer número mais 0 é o próprio número (a + 0 = a);
2° qualquer número vezes 0 é 0 ( a.0 = 0).
E para o 1 segue a propriedade:
qualquer número vezes 1 é o próprio número ( a.1 = a).
Por último a distributiva que já vamos direto para os símbolos, pois com palavras talvez ficasse mais confuso,

a(b+c )= ab+ ac exemplo: 2( 3+4 ) = 2×3 + 2×4 => 6 + 8 = 14 .

Agora vamos para as equações. São muito úteis para encontrar valores desconhecidos,
vamos considerar o exemplo anterior, no caso vamos substituir o 2 por x:
14 = x(3+4)
=> 14 = 7x
Queremos saber o valor de x, portanto ele de ser isolado, daí vamos dividir ambos os lados
por 7
14/7 = 7x/7
=> 2 = x
de fato, x = 2 como visto a princípio.
Vamos para os finalmente. Não sabemos se (-1)(-1) = 1, então devemos partir de algo que a gente sabe que é verdade que tal:
(1) + (- 1) = 0
multiplicando por (-1) de ambos os lados temos :
(-1)((1)+(-1))=(-1)0
hora de aplicar a distributiva e as demais propriedades
(-1)(1)+(-1)(-1)=0

=> (-1)+(-1)(-1)=0

vamos isolar o (-1)(-1), afinal queremos saber o valor dele, basta somar 1 dos dois lados da igualdade
1-1+(-1)(-1)=1+0
=> (-1)(-1)=1
Está provado!

Zero é par ?

Já se questionou sobre a natureza do zero, ele é par ?

Nada mais justo do que o primeiro post ser sobre o título do blog.

Zero é par ? A princípio sim, mas depende. Matemática e filosofia andam juntos então não será apenas um “porque sim”, vamos tentar entender mais a fundo esse “depende”.

Para ter exatidão precisamos nos certificar de que estamos falando a mesma língua e evitar ambiguidades, não podemos dar margem para mais de uma interpretação na matemática, por exemplo vou usar verbo amor de diferente formar, eu amo minha mãe e eu também amo batata frita, contudo são amores diferentes, eu não amo batata frita da mesma forma que amo minha mãe, amor não está definido matematicamente. Por outro lado podemos definir o que é um número par.

Definimos um número par todo número da forma 2.k (2 vezes k) onde k vária em todos os números inteiros, exemplos numéricos: 4 = 2.2,(para k=2); 2 = 2.1,(para k=1); 6=2.3,(para k=3); … Assim pegando k=0 temos 0=2.0 portanto 0 é par.

Além disso podemos generalizar. Seja p um número par, então ele é da forma p = 2.k podemos mudar essa expressão para uma mais interessante, dividindo os dois lados da equação por 2 temos :

p = 2.k => ^p/₂ = k

Definimos k como um número inteiro, ou seja. Criamos um forma de checar se o número é par, basta dividir por 2, se o resultado for um número inteiro então satisfaz a equações que montamos, seguem exemplos numéricos:

10/2 = 5 (10 dividido por 2 é igual a 5)

5 é um número inteiro, ou seja, 10 é par.

9/2 = 4,5 (9 dividido por 2 é igual a 4,5)

4,5 não é inteiros, ou seja, 9 não é par.

A partir desse método podemos checar a paridade de qualquer número, inclusive a do 0 (de novo)

0/2 = 0 (0 dividido por 2 é igual a 0)

0 é inteiro, então 0 é par.

Essas conclusões são possíveis a partir da minha definição de número par, com ela posso afirmar que existem números negativos pares, não vejo problema nisso. Você pode ter uma definição de número par diferente, onde se considera apenas os números naturais e para alguns autores o 0 não é um número natural o que implicaria que dadas essas condições 0 não é par.

Por fim, o consenso é que 0 é par, dependendo da sua matemática pode não ser, entretanto ele nunca será impar, não é possível escrever 0 na forma de 2k + 1. Nunca vi um matemático discordando que zero é par.