Categoria: Demonstrações Triviais

Sexta-feira 13 e a Matemática

Provaremos que todo ano tem pelo menos uma sexta-feira 13.

Esse texto foi inspirado em um palestra que assisti ano passado na UnB do professor Rogério César dos Santos, não me lembro exatamente como ele fez os cálculos, então vou fazer do meu jeito, mas as ideias creio que sejam parecidas.


Para provarmos que todo ano tem pelo menos uma sexta-feira 13 vamos quebrar esse problemas em partes, primeiro descobriremos quando um mês tem sexta-feira 13, e depois verificar se todo ano tem esse “tipo” de mês, existem 7 tipos de meses a depender de em qual dia da semana ele começa. O passo-a-passo para encontrar o mês que queremos é fácil.
-Contar quantos dias têm do primeiro dia do mês até a primeira sexta-feira
-Somar 7 ao resultado
-Se esse novo resultado der 13 significa que a segunda semana desse mês tem uma sexta-feira 13
Se o mês começar no domingo, temos que de domingo a sexta são 6 dias, então
6 + 7 = 13 . Logo quando o mês começa no domingo a segunda sexta-feira do mês é 13. Além disso é uma condição necessária e suficiente, se o mês começar em um dia de segunda-feira à sábado o mês não admite uma sexta-feira 13 (você pode verificar isso com o passo-a-passo que mostrei antes).
Classificamos os meses como 7 tipos diferentes, com ano é a mesma ideia, mas como existem os anos bissextos daí existem 14 tipos de ano.
Se você observar seu calendário vai notar que o primeiro dia da semana de um mês, depende do mês anterior, se obsevrar mais um pouco vai notar que se o mês anterior que tem 31 dias então o mês posterior vai começar 3 dias na semana depois que o anterior. Exemplo um mês que começa na segunda-feira com 31 dias, o próximo mês vai começar na quinta-feira, são 3 dias depois que a segunda-feira, sem contar com ela própria.
Generalizando para os outros meses temos que:

Mês anterior com 28 dias, mês posterior começa no mesmo dia da semana
Mês anterior com 29 dias, mês posterior começa 1 dia depois
Mês anterior com 30 dias, mês posterior começa 2 dias depois
Mês anterior com 31 dias, mês posterior começa 3 dias depois


Vamos anotar a quantidade de dias que tem cada mês pois usaremos essa informação mais tarde.

Janeiro 31
Fevereiro 28 ou 29
Março 31
Abril 30
Maio 31
Junho 30
Julho 31
Agosto 31
Setembro 30
Outubro 31
Novembro 30
Dezembro 31


Verificaremos se todo ano tem um mês que comece no domingo analisando caso a caso, para isso vamos construir uma tabela com os meses do ano e o primeiro dia da semana de cada mês.

Denotaremos mês x = dia da semana que começa o mês

Primeiro verificar para um ano que comece no domingo (regular ou bissexto)

Caso 1) Regular

mês 1 = domingo ✓
mês 2 = quarta
mês 3 = quarta
mês 4 = sábado
mês 5 = segunda
mês 6 = quinta
mês 7 = sábado
mês 8 = terça
mês 9 = sexta
mês 10 = domingo ✓
mês 11 = quarta
mês 12 = sexta

Caso 2) Bissexto

mês 1 = domingo ✓
mês 2 = quarta
mês 3 = quinta
mês 4 = domingo ✓
mês 5 = terça
mês 6 = sexta
mês 7 = domingo ✓
mês 8 = quarta
mês 9 = sábado
mês 10 = segunda
mês 11 = quinta
mês 12 = sábado

Para um ano que começa no domingo é um caso trivial, afinal precisamos de ao menos um mês que comece no domingo, contudo construir essa tabela vai nos ajudar a determinar para os anos que começam nos demais dias da semana. Um ano que começa na segunda-feira vai ter um calendário muito parecido com essa caso anterior, basta nos movermos uma casa para direita, então vamos substituir onde é domingo por segunda, onde é segunda por terça e assim sucessivamente. Usaremos esse mesmo método para os outros dias mas ao invés mover só uma casa, para os demais moveremos a quantidade a depender da ‘distância’ de domingo até o dia em questão (segunda- 1 ; terça – 2; quarta – 3; quinta – 4; sexta – 5;e sábado – 6).

Dia da semana que começa o anomeses que começam no domingo
Domingo (regular)1 e 10
Domingo (bissexto)1, 4 e 7
Segunda-feira (regular) 4 e 7
Segunda-feira (bissexto)9 e 12
Terça-feira (regular)9 e 12
Terça-feira (bissexto)6
Quarta-feira (regular)6
Quarta-feira (bissexto)3 e 11
Quinta-feira (regular)2, 3 e 11
Quinta-feira (bissexto)2 e 8
Sexta-feira (regular)8
Sexta-feira (bissexto)5
Sábado (regular)5
Sábado (bissexto)10

Essa ano de 2020 começou em uma quarta feira, ano bissexto, então teve 2 dois meses que começaram no domingo, logo esses dois meses têm uma sexta-feira 13 pela tabela março e novembro.

Fiquem à vontade para verificar se a tabela está certa comparando com o calendário do ano que vem, do ano passado, do ano do seu aniversário… qualquer dúvida podem me escrever.

Por que (-1)(-1) = 1?

Menos com menos é mais ? De onde veio isso ? Vamos conferir

Caro leitor, primeiramente devo avisar que caso esteja com pressa pode pular para os finalmente, caso contrário vamos do início.
Na educação básica, a matemática nos é ensinada como uma ferramenta que “funciona” para vários fins, mas muitas vezes não aprendemos o porquê de funcionar.
Algumas áreas da Matemática contemplam justo essa parte de porque que algo funciona. Então vamos primeiro entender alguns elementos básicos desse jogo que é a
Matemática, no caso, as regras (pesquise por axiomas matemáticos no Google  se quiser saber mais). As peças são os números, não poderia ser diferente, visto que vamos trabalhar com eles. Cada tipo de número tem suas características assim como as peças de xadrez, chamamos essas características de propriedades e vamos esclarecer algumas básicas para resolver o enunciado no título. Duas propriedades do 0 que usaremos:
1° qualquer número mais 0 é o próprio número (a + 0 = a);
2° qualquer número vezes 0 é 0 ( a.0 = 0).
E para o 1 segue a propriedade:
qualquer número vezes 1 é o próprio número ( a.1 = a).
Por último a distributiva que já vamos direto para os símbolos, pois com palavras talvez ficasse mais confuso,

 a(b+c )= ab+ ac exemplo: 2( 3+4 ) = 2×3 + 2×4 => 6 + 8 = 14 .

Agora vamos para as equações. São muito úteis para encontrar valores desconhecidos,
vamos considerar o exemplo anterior, no caso vamos substituir o 2 por x:
14 = x(3+4)
=> 14 = 7x
Queremos saber o valor de x, portanto ele de ser isolado, daí vamos dividir ambos os lados
por 7
14/7 = 7x/7
=> 2 = x
de fato, x = 2 como visto a princípio.
Vamos para os finalmente. Não sabemos se (-1)(-1) = 1, então devemos partir de algo que a gente sabe que é verdade que tal:
(1) + (- 1) = 0
multiplicando por (-1) de ambos os lados temos :
(-1)((1)+(-1))=(-1)0
hora de aplicar a distributiva e as demais propriedades
(-1)(1)+(-1)(-1)=0

=> (-1)+(-1)(-1)=0

vamos isolar o (-1)(-1), afinal queremos saber o valor dele, basta somar 1 dos dois lados da igualdade
1-1+(-1)(-1)=1+0
=> (-1)(-1)=1
Está provado!