Teoria dos Números – Zero é Par

Paradoxo do Aniversário

Como calcular a chance de numa sala com 50 pessoas, pelo menos 2 delas fazerem aniversário no mesmo dia.

A motivação do texto é responder a pergunta: em uma sala com 50 pessoas qual a probabilidade de pelo menos 2 pessoas fazerem aniversário no mesmo dia ? Somos acostumados a resolver problemas da matemática de forma linear, a famosa regra de 3, contudo esse problema não se resolve de forma linear. Vamos primeiro resolver ele usando regra de 3 e depois da forma correta.

Os vestibulandos sabem que para aplicar regra de 3 é preciso de no mínimo 3 informações, nesse caso ainda só temos uma, precisamos saber quantas pessoas é preciso para essa probabilidade chegar a 100%. Na Teoria Combinatória dos Números existe o Princípio da Casa dos Pombos e ao invés de simplesmente enunciá-lo aqui, vou construir a ideia:

Digamos que você tenha 6 pombos e 5 casas para colocar eles, então você colocando de forma aleatória ou não, com certeza no mínimo 2 pombos estarão na mesma casa. Usando essa ideia para o dia do aniversário temos que o máximo de dias que um ano tem é 366, se eu quero ter certeza que pelo menos 2 pessoas façam aniversário no mesmo dia eu preciso de 367 pessoas.

Ótimo, conseguimos as 3 informações. Aplicando na regra de 3 temos:

367 — 100%
50 — x

367x = 5000%
x = 5000%/367
x = 13.62%

De acordo com esses cálculos a chance de pelo menos 2 pessoas fazerem aniversário no mesmo dia em uma sala com 50 pessoas é de 13.62%, mas esse raciocínio está errado, essa probabilidade não aparece na realidade. Então como podemos fazer de forma correta?

Na graduação temos uma piada que qualquer evento tem 50% de chance de acontecer, pois ou ele acontece ou não acontece, claro que na realidade não é assim mas podemos usar essa ideia. Se somarmos a chance de algum evento acontecer com a chance dele não acontecer vamos obter 100% (isso de forma didática, na matemática existem nomes técnicos para essa situação), considere as seguintes definições para facilitar nossa comunicação:

A = chance de pelo menos 2 das 50 pessoas fazem aniversário no mesmo dia;
B = chance de cada uma das 50 pessoas fazerem aniversário em dias distintos.
Logo, A+B = 1 (não coloquei 100% para facilitar os próximos cálculos mas é a mesma coisa)

Quero descobrir o valor de A, vamos isolá-lo

A = 1 – B

Para resolver basta achar o valor de B, ou seja nosso desafio agora é calcular a probabilidade de 50 pessoas fazerem aniversário em dias diferentes. Vamos usar a fórmula do arranjo simples, ela retorna a quantidade de combinações possíveis, para virar porcentagens basta dividir por 365^50 (365 é o espaço amostral para uma pessoa, como são 50 devemos colocar esse número como potência)

Você poderia considerar o ano bissexto mas um dia não faz diferença no resultado final.

Uma calculadora simples não consegue fazer esses cálculos, então usando o WolfranAlpha (É um software inteligente que roda direto do navegador, linguagens de programação como o python e R provavelmente conseguiriam fazer esses cálculos também) e ele retorna uma aproximação excelente de 0,03 e substituindo esse valor de B na outra expressão temos

A = 1- 0,03
A = 0,97
Ou em porcentagens A = 97%

Portanto, a chance de pelo menos 2 pessoas fazerem aniversário no mesmo dia em uma sala com 50 pessoas é 97%. Além disso conseguimos criar uma função p(n) que retorna a porcentagem a depender do número n de pessoas.

Chequem as referências vou comentar cada uma.

** LIvro
Introdução à Teoria dos Números – José Plinio – O capítulo 3 fala sobre a Teoria Combinatória dos Números muito interessante lá onde eu conheci o princípio da casa dos pombos.

**Links
WolframAlpha Resolve vários problemas incluindo derivadas e integrais.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxo_do_anivers%C3%A1rio – Wikipedia não é uma referência boa para citar em um artigo científico, contudo é um ótimo lugar para se introduzir em um assunto.

Bases Numéricas Parte 2

Nesse post vamos continuar vendo curiosidades sobre bases numéricas e além disso vamos aprender como converter da base decimal para a base binária.

No post passado deixei um desafio que era completar a seguinte tabela:

Base	Núm. 1	vezes	Núm. 2	Resultado
Base 10	3	x	6	18
Base 2	11	x	110	????

É desejável que tenha lido a Parte 1 tem um tempo de leitura estimado de 2 minutos.

Há pelo menos 3 formas de resolver esse desafio. A 1ª é contando, a 2ª é transformando e a 3ª é multiplicando. Vamos fazer todas.

Na 1ª vamos contar de 6 até 18 em binário, sabemos que 6 decimal corresponde a 110 binário, basta somar de um em um até chegar em 18.

6 – 110
7 – 111
8 – 1000
9 – 1001

10 – 1010
11 – 1011
12 – 1100
13 – 1101

14 – 1110
15 – 1111
16 – 10000
17 – 10001

18 – 10010

É um método muito trabalhoso, se assimila a contar nos dedos, vamos usar o 2º agora, um pouco mais sofisticado. Vamos simplesmente calcular quanto é 18 em binário.

Como a base é binária devemos dividir 18 por 2, vamos guardar o resto e o resultado vamos dividir por 2 novamente, seguimos esses passos até que o resultado fique menor que 2.

i) 18 / 2 = 9 resto 0 => 18 em binário = ????0
ii) 9 / 2 = 4 resto 1 => 18 em binário = ???10
iii) 4 / 2 = 2 resto 0 => 18 em binário = ??010
iv) 2 / 2 = 1 resto 0 => 18 em binário = ?0010
v) 1 / 2 = 0 resto 1 => 18 em binário = 10010

Esse é método foi mais rápido e sofisticado. O 3º é simples e rápido, vamos multiplicar 11 e 110 na base binária, para isso vamos olhar a tabuada binária:

0+0 = 0 ~ 0x0 = 0
1+0 = 1 ~ 1×0 = 0
1+1 = 10 ~ 1×1 = 1

Vamos fazer a multiplicação de usando como referência a tabuada acima

Por fim, vamos verificar como sair da base binária e voltar para base decimal. Antes disso vejamos uma manipulação de um número qualquer, podemos escrever o número 5734 como:

Vamos usar essa ideia para calcular quanto 10010 binário corresponde em decimal, contudo ao invés de multiplicarmos por “10” vamos multiplicar por “2”

Fica as perguntas é possível realizar todas as operações que realizamos na base decimal em base binária ? Ou ainda em qualquer base ? Imagine se os seres humanos tivessem 4 dedos ao invés de 5 em cada mão, será se nesse cenário os humanos usariam a base octal?

Bases Numéricas Parte 1

Hoje vamos ver como 1+1 = 10 e entender um pouco sobre bases numéricas

Hoje temos muito o que abordar, primeiramente quero saber quantos signos do zodíaco existem, são eles: 1 – Aquário; 2 – Peixes; 3 – Áries; 4 – Touro; 5 – Gêmeos; 6 – Câncer; 7 – Leão; 8 – Virgem; 9 – Libra; 10 – Escorpião (o melhor); 11 – Sagitário; e 12 – Capricórnio. Acabamos de fazer uma contagem e descobrimos que são 12 signos, além disso vocês repararam que a partir do 10 os algarismos(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 – indo-arábicos) começaram a se repetir, isso ocorre porque utilizamos a base decimal para fazer contas. É bem confortável usar a base decimal afinal temos 10 dedos e estamos acostumados, mas existem outras infinitas bases e no nosso dia a dia utilizamos:

Base 10 para quase tudo;

Base 2 nos computadores;

Base 60 para minutos e segundos;

Base 7 para dias da semana;

Base 365 para anos;

….

Contudo todas essas bases escrevemos com os algarismos indo-arábicos. Um exemplo de como contaríamos os signos na base 2 ou binária:

Os símbolos dessa base são o 0 e o 1

1 – Aquário
10- Peixes
11- Áries
100- Touro
101- Gêmeos
110- Câncer
111- Leão
1000- Virgem
1001- Libra
1010- Escorpião
1011- Sagitário
1100- Capricórnio

Então na base binária existem 1100 signos que correspondem aos mesmos 12 na base decimal. Na base binário 1+1 = 10, podemos somar, subtrair, dividir e multiplicar números em outras bases sem problemas, exemplo e desafio:

Base	Núm. 1	vezes	Núm. 2	Resultado
Base 10	2	x	3	6
Base 2	10	x	11	110

Os números são correspondentes de acordo com sua base, é fácil de verificar pela lista(dos signos) de que o sexto de fato é o 110, assim como o segundo é o 10 e o terceiro é o 11. A próxima fica como desafio, quanto é 18 decimal em binário ?

Base	Núm. 1	vezes	Núm. 2	Resultado
Base 10	3	x	6	18
Base 2	11	x	110	????

Na história tivemos várias outras formas de representar os números talvez o exemplo mais conhecido talvez seja os números romanos (porém é um sistema aditivo e não posicional). Voltemos mais na história muitos anos antes de Cristo os povos babilônicos utilizavam a base 60 ou sexagesimal. Eles tinham 59 símbolos diferente para representar os números, só a partir do 60 eles começam a repetir os símbolos, e eles não tinham um símbolo para o 0.

Na base decimal começamos a repetir os símbolos no 10, na base sexagesimal começa no 60, contudo como eles não tem um símbolo para o 0, ou seja o símbolo do do 1 e do 60 são os mesmos, é um sistema ambíguo. Imagine se não tivéssemos o 0, os símbolos do 1 e do 10 seria os mesmo também.

No próximo post abordaremos melhor a matemática envolta das bases numéricas.

Por que (-1)(-1) = 1?

Menos com menos é mais ? De onde veio isso ? Vamos conferir

Caro leitor, primeiramente devo avisar que caso esteja com pressa pode pular para os finalmente, caso contrário vamos do início.
Na educação básica, a matemática nos é ensinada como uma ferramenta que “funciona” para vários fins, mas muitas vezes não aprendemos o porquê de funcionar.
Algumas áreas da Matemática contemplam justo essa parte de porque que algo funciona. Então vamos primeiro entender alguns elementos básicos desse jogo que é a
Matemática, no caso, as regras (pesquise por axiomas matemáticos no Google se quiser saber mais). As peças são os números, não poderia ser diferente, visto que vamos trabalhar com eles. Cada tipo de número tem suas características assim como as peças de xadrez, chamamos essas características de propriedades e vamos esclarecer algumas básicas para resolver o enunciado no título. Duas propriedades do 0 que usaremos:
1° qualquer número mais 0 é o próprio número (a + 0 = a);
2° qualquer número vezes 0 é 0 ( a.0 = 0).
E para o 1 segue a propriedade:
qualquer número vezes 1 é o próprio número ( a.1 = a).
Por último a distributiva que já vamos direto para os símbolos, pois com palavras talvez ficasse mais confuso,

a(b+c )= ab+ ac exemplo: 2( 3+4 ) = 2×3 + 2×4 => 6 + 8 = 14 .

Agora vamos para as equações. São muito úteis para encontrar valores desconhecidos,
vamos considerar o exemplo anterior, no caso vamos substituir o 2 por x:
14 = x(3+4)
=> 14 = 7x
Queremos saber o valor de x, portanto ele de ser isolado, daí vamos dividir ambos os lados
por 7
14/7 = 7x/7
=> 2 = x
de fato, x = 2 como visto a princípio.
Vamos para os finalmente. Não sabemos se (-1)(-1) = 1, então devemos partir de algo que a gente sabe que é verdade que tal:
(1) + (- 1) = 0
multiplicando por (-1) de ambos os lados temos :
(-1)((1)+(-1))=(-1)0
hora de aplicar a distributiva e as demais propriedades
(-1)(1)+(-1)(-1)=0

=> (-1)+(-1)(-1)=0

vamos isolar o (-1)(-1), afinal queremos saber o valor dele, basta somar 1 dos dois lados da igualdade
1-1+(-1)(-1)=1+0
=> (-1)(-1)=1
Está provado!